已知双曲线与椭圆x225+y29=1的焦点重合,它们的离心率之和为145,求双曲线的方程.
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已知双曲线与椭圆x225+y29=1的焦点重合,它们的离心率之和为145,求双曲线的方程.
题型:不详
难度:
来源:
已知双曲线与椭圆
x
2
25
+
y
2
9
=1
的焦点重合,它们的离心率之和为
14
5
,求双曲线的方程.
答案
设双曲线的方程为
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1
(a>0,b>0)(3分)
椭圆
x
2
25
+
y
2
9
=1
的半焦距
c=
25-9
=4
,离心率为
4
5
,(6分)
两个焦点为(4,0)和(-4,0)(9分)
∴双曲线的两个焦点为(4,0)和(-4,0),离心率
e=
14
5
-
4
5
=2
∴
c
a
=
4
a
=2
,∴a=2(12分)
∴b
2
=c
2
-a
2
=12(14分)
∴双曲线的方程为
x
2
4
-
y
2
12
=1
(15分)
举一反三
选做题
A.选修4-2矩阵与变换
已知矩阵
A=
.
1
2
-1
4
.
,向量
a
=
.
7
4
.
.
(Ⅰ)求A的特征值λ
1
、λ
2
和特征向量α
1
、α
2
; (Ⅱ)计算A
6
α的值.
B.选修4-4坐标系与参数方程
已知直线l的参数方程为
x=4-2t
y=t-2
(t为参数),P是椭圆
x
2
4
+
y
2
=1
上任意一点,求点P到直线l的距离的最大值.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的某个焦点为F,双曲线
G:
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1
(a,b>0)的某个焦点为F.
(1)请在______上补充条件,使得椭圆的方程为
x
2
3
+
y
2
=1
;友情提示:不可以补充形如
a=
3
,b=1
之类的条件.
(2)命题一:“已知抛物线y
2
=2px(p>0)的焦点为F,定点P(m,n)满足n
2
-2pm>0,以PF为直径的圆交y轴于A、B,则直线PA、PB与抛物线相切”.命题中涉及了这么几个要素:对于任意抛物线P(x,y),定点P,以PF为直径的圆交F(0,1)轴于A、B,PA、PB与抛物线相切.试类比上述命题分别写出一个关于椭圆C和双曲线G的类似正确的命题;
(3)证明命题一的正确性.
题型:不详
难度:
|
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如图,已知双曲线
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1
(b>a>0)且a∈[1,2],它的左、右焦点为F
1
,F
2
,左右顶点分别为A、B.过F
2
作圆x
2
+y
2
=a
2
的切线,切点为T,交双曲线与P、Q两点.
(Ⅰ)求证直线PQ与双曲线的一条渐近线垂直.
(Ⅱ)若M为PF
2
的中点,O为坐标原点,|OM|-|MT|=1,|PQ|=λ|AB|,求实数λ的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的左、右焦点分别为F
1
、F
2
,过F
1
的直线l与椭圆交于A、B两点.
(1)如果点A在圆x
2
+y
2
=c
2
(c为椭圆的半焦距)上,且|F
1
A|=c,求椭圆的离心率;
(2)若函数
y=
2
+lo
g
m
x
,(m>0且m≠1)的图象,无论m为何值时恒过定点(b,a),求
F
2
B
•
F
2
A
的取值范围.
题型:越秀区模拟
难度:
|
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已知中心在原点,其中一个焦点为F(-1,0)的椭圆经过点
P(
2
,-
6
2
)
,椭圆的右顶点为A,经过点F的直线l与椭圆交于两点B,C.
(1)求椭圆的方程;
(2)若△ABC的面积为
18
7
2
,求直线l的方程.
题型:不详
难度:
|
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多项式的相关概念
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