(理)已知圆(x+4)2+y2=25的圆心为M1,圆(x-4)2+y2=1的圆心为M2,一个动圆与这两个圆都外切. (Ⅰ)求动圆圆心M的轨迹C的方程;(Ⅱ)若经
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(理)已知圆(x+4)2+y2=25的圆心为M1,圆(x-4)2+y2=1的圆心为M2,一个动圆与这两个圆都外切. (Ⅰ)求动圆圆心M的轨迹C的方程; (Ⅱ)若经过点M2的直线与(Ⅰ)中的轨迹C有两个交点A、B,求|AM1|•|BM1|的最小值. |
答案
(I)∵动圆M与这两个圆都外切, ∴|MM1|-5=|MM2|-1 即|MM1|-|MM2|=4, ∵|MM1|-|MM2|=4,4<|M1M2|=8 ∴动圆圆心M的轨迹是以M1,M2为焦点的双曲线的右支 由定义可得 c=4,a=2,b2=12 ∴动圆圆心M的轨迹C的方程为-=1(x≥2) (II)∵M2(4,1), ∴设经过点M2的直线方程为x=ty+4 代入双曲线方程-=1,并整理得(3t2-1)y2+24ty+36=0 设A(x1,y1),B(x2,y2),则有△>0,y1+y2=-,y1y2= 由y1y2<0,得t2< 而|AM1|•|BM1|=e(x1+1)•e(x2+1)=4(ty1+5)(ty2+5) =4[t2(y1y2)+5t(y1+y2)+25] =4[t2•+5t•(-)+25] =-112×(1+)+100 ∵-1≤3t2-1<0 ∴当3t2-1=-1时,即t=0时,|AM1|•|BM1|取得最小值100 |
举一反三
已知点A(1,0),直线l:y=2x-4,点R是直线l上的一点,若=,则点P的轨迹方程为______. |
已知C:x2+y2+2x-4y+3=0.圆C外有一动点P,点P到圆C的切线长等于它到原点O的距离, (1)求点P的轨迹方程. (2)当点P到圆C的切线长最小时,切点为M,求∠MPC的值. |
设F1,F2分别是椭圆C:+=1 (a>b>0)的左右焦点, (1)设椭圆C上的点(,)到F1,F2两点距离之和等于4,写出椭圆C的方程和焦点坐标 (2)设K是(1)中所得椭圆上的动点,求线段KF1的中点B的轨迹方程 (3)设点P是椭圆C上的任意一点,过原点的直线L与椭圆相交于M,N两点,当直线PM,PN的斜率都存在,并记为kPM,KPN试探究kPM•KPN的值是否与点P及直线L有关,并证明你的结论. |
在△ABC中,B(-2,0),C(2,0),A(x,y),若△ABC满足条件分别为①周长为10;②∠A=90°;③kABkAC=1.则A的轨迹方程分别是a:x2+y2=4(y≠0);;c:x2-y2=4(y≠0),则正确的配对关系是( )A.①a②b③c | B.①b②a③c | C.①c②a③b | D.①b②c③a | 已知两点A、B分别在直线y=x和y=-x上运动,且|AB|=,动点P满足2=+(O为坐标原点),点P的轨迹记为曲线C. (1)求曲线C的方程; (2)过曲线C上任意一点作它的切线l,与椭圆+y2=1交于M、N两点,求证:•为定值. |
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