设函数f(x)=x|x-a|+b,求证:f(x)为奇函数的充要条件是a2+b2=0.
题型:不详难度:来源:
设函数f(x)=x|x-a|+b,求证:f(x)为奇函数的充要条件是a2+b2=0. |
答案
证明见试题解析. |
解析
试题分析:充要条件的证明要分别证明充分性和必要性,.本题充分性是由证明为奇函数,必要性是由为奇函数证明. 试题解析:证明充分性:∵a2+b2=0,∴a=b=0, 2 ∴f(x)=x|x| 3 ∵f(-x)=-x|-x|=-x|x|,-f(x)=-x|x|, 4 ∴f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数 6 必要性:若f(x)为奇函数,则对一切x∈R,f(-x)=-f(x)恒成立 7 即-x|-x-a|+b=-x|x-a|-b恒成立 8 令x=0,则b=-b,∴b=0, 10 令x=a,则2a|a|=0,∴a=0 11 即a2+b2=0 12 |
举一反三
“为真命题”是“为假命题”成立的 条件. |
设等比数列的公比为,前项和为.则“”是“” 的条件. |
在中,则“”是“”的( ) A.充要条件 | B.充分不必要条件 | C.必要不充分条件 | D.既不充分又不必要条件 |
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已知,则“”是“”的( )A.充分不必要条件 | B.必要不充分条件 | C.充分必要条件 | D.既不充分也不必要条件 |
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设,则“”是“为偶函数”的( )A.充分不必要条件 | B.必要不充分条件 | C.充要条件 | D.既不充分也不必要条件 |
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