在矩形ABCD中，AB=1，AD=3，P为矩形内一点，且AP=32，若AP=λAB+μAD（λ，μ∈R），則λ+3μ的最大值为（　　）A．32B．3+34C．6

题型：不详难度：来源：

在矩形ABCD中，AB=1，AD=

3

，P为矩形内一点，且AP=

3

2

，若

AP

=λ

AB

+μ

AD

（λ，μ∈R），則λ+

3

μ的最大值为（　　）

A． 3 2

B． 3+ 3 4

C． 6 2

D． 6 +3 2 4

答案

如图所示，在图中，设P（x，y）．
B（1，0），D（0，

3

），C（1，

3

）．
由AP=

3

2

，得x²+y²=

3

4

，
则点P满足的约束条件为

0≤x≤1 0≤y≤ 3 x2+y2= 3 4

．
∵

AP

=λ

AB

+μ

AD

即（x，y）=λ（1，0）+μ（0，

3

）
∴x=λ，y=

3

μ，∴λ+

3

μ=x+y．
由于x+y≤

2(x2+y2)

=

2× 3 4

=

6

2

，
当且仅当x=y时取等号．
則λ+

3

μ=x+y的最大值为

6

2

．
故选C．