如图,在四棱锥中,平面平面.(1)证明:平面;(2)求二面角的大小
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如图,在四棱锥中,平面平面.(1)证明:平面;(2)求二面角的大小
题型:不详
难度:
来源:
如图,在四棱锥
中,平面
平面
.
(1)证明:
平面
;
(2)求二面角
的大小
答案
(1)详见解析;(2)二面角
的大小是
.
解析
试题分析:(1)求证:
平面
,证明线面垂直,先证线线垂直,即证线和平面内两条相交直线垂直,由已知可得
,只需证明
,或
,由已知平面
平面
,只需证明
,就得
平面
,即
,而由已知
,在直角梯形
中,易求
,从而满足
,即得
,问题得证;(2)求二面角
的大小,可用传统方法,也可用向量法,用传统方法,关键是找二面角的平面角,可利用三垂线定理来找,但本题不存在利用三垂线定理的条件,因此利用垂面法,即作
,与
交于点
,过点
作
,与
交于点
,连结
,由(1)知,
,则
,,所以
是二面角
的平面角,求出
的三条边,利用余弦定理,即可求出二面角
的大小,用向量法,首先建立空间坐标系,先找三条两两垂直的直线作为坐标轴,观察几何图形可知,以
为原点,分别以射线
为
轴的正半轴,建立空间直角坐标系
,写出个点坐标,设出设平面
的法向量为
,平面
的法向量为
,求出它们的一个法向量,利用法向量的夹角与二面角的关系,即可求出二面角
的大小.
(1)在直角梯形
中,由
,
得,
,由
,则
,即
,又平面
平面
,从而
平面
,所以
,又
,从而
平面
;
(2)方法一:作
,与
交于点
,过点
作
,与
交于点
,连结
,由(1)知,
,则
,,所以
是二面角
的平面角,在直角梯形
中,由
,得
,又平面
平面
,得
平面
,从而,
,由于
平面
,得:
,在
中,由
,
,得
,
在
中,
,
,得
,在
中,
,
,
,得
,
,从而
,在
中,利用余弦定理分别可得
,在
中,
,所以
,即二面角
的大小是
.
方法二:以
为原点,分别以射线
为
轴的正半轴,建立空间直角坐标系
如图所示,由题意可知各点坐标如下:
,设平面
的法向量为
,平面
的法向量为
,可算得
,
,由
得,
,可取
,由
得,
,可取
,于是
,由题意可知,所求二面角是锐角,故二面角
的大小是
.
点评:本题主要考查空间点,线,面位置关系,二面角等基础知识,空间向量的应用 ,同时考查空间想象能力,与推理论证,运算求解能力.
举一反三
如图,四棱锥
中,底面是以
为中心的菱形,
底面
,
,
为
上一点,且
.
(1)求
的长;
(2)求二面角
的正弦值.
题型:不详
难度:
|
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已知向量
=(2,4,5),
=(3,x,y),若
∥
,则( )
A.x=6,y=15
B.x=3,y=
C.x=3,y=15
D.x=6,y=
题型:不详
难度:
|
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已知正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,点E为上底面A
1
C
1
的中心,若
=
+x
+y
,则x、y的值分别为( )
A.x=1,y=1
B.x=1,y=
C.x=
,y=
D.x=
,y=1
题型:不详
难度:
|
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A.(1,-1,1)
B.(1,3,
)
C.(1,-3,
)
D.(-1,3,-
)
题型:不详
难度:
|
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A.5
B.
C.4
D.2
题型:不详
难度:
|
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