如图,矩形ABCD的对角线AC,BD交于O,AB=4,AD=3.沿AC把△ACD折起,使二面角D1-AC-B为直二面角.(1)求直线AD1与直线DC所成角的余弦

如图,矩形ABCD的对角线AC,BD交于O,AB=4,AD=3.沿AC把△ACD折起,使二面角D1-AC-B为直二面角.(1)求直线AD1与直线DC所成角的余弦

题型:不详难度:来源:
如图,矩形ABCD的对角线AC,BD交于O,AB=4,AD=3.沿AC把△ACD折起,使二面角D1-AC-B为直二面角.
(1)求直线AD1与直线DC所成角的余弦值;
(2)求二面角A-DD1-C的平面角正弦值大小.
答案
(1)以点B为坐标原点,平面ABC为xOy平面,BC,BA方向分别为x轴,y轴的正方向,建立空间直角坐标系.则B(0,0,0),C(3,0,0),A(0,4,0).
在矩形ABCD中,作DH⊥AC于H,HM⊥BC于M,HN⊥AB于N,则H即为D1在平面ABC上的射影.
∵AB=4,AD=3,∴AC=5,DH=
12
5
,HN=
27
25
,HM=
64
25
D1(
27
25
64
25
12
5
)
,…(6分)


AD1
=(
27
25
64
25
12
5
)-(0,4,0)=(
27
25
-36
25
12
5
)


DC
=(3,0,0)-(3,4,0)=(0,-4,0)

所以cos<


AD1


DC
>=


AD1


DC
|


AD1
||


DC
|
=
12
25
.…(10分)
(2)设平面D1BC的法向量为


n
=(a,b,c)


BC
=(3,0,0),


BA
=(0,4,0)



n


BC
=0


n


D1B
=0
,∴





a=0
27a+64b+60c=0


n
=(0,-15,16)

设平面D1BA的法向量为


m
=(x,y,z)



m


BA
=0


m


D1B
=0






y=0
27x+64y+60z=0
,∴


m
=(-20,0,-9)
.…(14分)
cos<


m


n
>=


m


n
|


m
|•|


n
|
=-
144
481

sinθ=


1-(
144
481
)
2
=
25


337
481
.…(16分)
举一反三
已知a= (x ,2 ,0 ),b= (3,2-x ,x ),且a 与b的夹角为钝角,则x 的取值范围是[     ]
A.x<-4    
B.-4<x<0  
C.0<x<4    
D .x>4
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已知三点A(1,0,0),B(3,1,1),C(2,0,1),则方向上的投影为(    )
题型:陕西省月考题难度:| 查看答案
如图所示,在平行四边形ABCD 中,AB=AC=1 ,∠ACD=90 °,沿着它的对角线AC 将△ACD 折起,使AB 与CD 成60 °角,求此时B 、D 间的距离.
题型:同步题难度:| 查看答案
如图,已知正方体ABCD-A"B"C"D" 的棱长为a ,设,则[     ]

A.30°    
B.60°    
C.90°    
D.120°
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在空间直角坐标系中,点B是A(1,2,3)在yOz坐标平面内的射影,O为坐标原点,则|OB|等于______.
题型:不详难度:| 查看答案
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