如图,矩形ABCD的对角线AC,BD交于O,AB=4,AD=3.沿AC把△ACD折起,使二面角D1-AC-B为直二面角.(1)求直线AD1与直线DC所成角的余弦
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如图,矩形ABCD的对角线AC,BD交于O,AB=4,AD=3.沿AC把△ACD折起,使二面角D1-AC-B为直二面角.(1)求直线AD1与直线DC所成角的余弦
题型:不详
难度:
来源:
如图,矩形ABCD的对角线AC,BD交于O,AB=4,AD=3.沿AC把△ACD折起,使二面角D
1
-AC-B为直二面角.
(1)求直线AD
1
与直线DC所成角的余弦值;
(2)求二面角A-DD
1
-C的平面角正弦值大小.
答案
(1)以点B为坐标原点,平面ABC为xOy平面,BC,BA方向分别为x轴,y轴的正方向,建立空间直角坐标系.则B(0,0,0),C(3,0,0),A(0,4,0).
在矩形ABCD中,作DH⊥AC于H,HM⊥BC于M,HN⊥AB于N,则H即为D
1
在平面ABC上的射影.
∵AB=4,AD=3,∴AC=5,
DH=
12
5
,HN=
27
25
,HM=
64
25
,
D
1
(
27
25
,
64
25
,
12
5
)
,…(6分)
∴
A
D
1
=(
27
25
,
64
25
,
12
5
)-(0,4,0)=(
27
25
,
-36
25
,
12
5
)
,
DC
=(3,0,0)-(3,4,0)=(0,-4,0)
,
所以
cos<
A
D
1
,
DC
>=
A
D
1
•
DC
|
A
D
1
||
DC
|
=
12
25
.…(10分)
(2)设平面D
1
BC的法向量为
n
=(a,b,c)
,
BC
=(3,0,0),
BA
=(0,4,0)
,
∵
n
•
BC
=0
,
n
•
D
1
B
=0
,∴
a=0
27a+64b+60c=0
∴
n
=(0,-15,16)
.
设平面D
1
BA的法向量为
m
=(x,y,z)
,
∵
m
•
BA
=0
,
m
•
D
1
B
=0
,
∴
y=0
27x+64y+60z=0
,∴
m
=(-20,0,-9)
.…(14分)
∴
cos<
m
,
n
>=
m
•
n
|
m
|•|
n
|
=-
144
481
,
∴
sinθ=
1-
(
144
481
)
2
=
25
337
481
.…(16分)
举一反三
已知a= (x ,2 ,0 ),b= (3,2-x ,x ),且a 与b的夹角为钝角,则x 的取值范围是
[ ]
A.x<-4
B.-4<x<0
C.0<x<4
D .x>4
题型:同步题
难度:
|
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已知三点A(1,0,0),B(3,1,1),C(2,0,1),则
在
方向上的投影为( )
题型:陕西省月考题
难度:
|
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题型:同步题
难度:
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如图,已知正方体ABCD-A"B"C"D" 的棱长为a ,设
,则
[ ]
A.30°
B.60°
C.90°
D.120°
题型:同步题
难度:
|
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在空间直角坐标系中,点B是A(1,2,3)在yOz坐标平面内的射影,O为坐标原点,则|OB|等于______.
题型:不详
难度:
|
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