已知各项均不相等的正项数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn．（1）若{an}，{bn}为等差数列，求证：limn→∞anbn=limn→∞SnTn．

题型：不详难度：来源：

已知各项均不相等的正项数列{a_n}，{b_n}的前n项和分别为S_n，T_n．
（1）若{a_n}，{b_n}为等差数列，求证：

lim

n→∞

lim

n→∞

．
（2）将（1）中的数列{a_n}，{b_n}均换作等比数列，请给出使

lim

n→∞

lim

n→∞

成立的条件．

答案

（1）证明：设{a_n}，{b_n}的公差分别为d₁，d₂（d₁，d₂均不为0），则

lim

x→∞

lim

x→∞

a1+(n-1)d1

b1+(n-1)d2

，…（4分）

lim

x→∞

lim

x→∞

na1+

n(n-1)

nb1+

n(n-1)

，
所以

lim

x→∞

lim

x→∞

．…（8分）
（2）设{a_n}，{b_n}的公比分别为q₁，q₂（q₁，q₂均为不等于1的正数），则

lim

n→∞

lim

n→∞

a1q1n-1

b1q2n-1

lim

n→∞

(

)n-1=

(q1=q2)

0(q1＜q2).

…（11分）

lim

n→∞

a1(1-q2)

b1(1-q1)

lim

n→∞

1-q1n

1-q2n

(q1=q2)

a1(1-q2)

b1(1-q1)

(0＜q1＜1，0＜q2＜1)

0(0＜q1＜q2，q2＞1).

…（14分）
所以使

lim

x→∞

lim

x→∞

成立的条件是0＜q₁＜q₂，q₂＞1或q₁=q₂．…（16分）

举一反三

计算：

lim

n→∞

[1-

+…+(-1)n-1•

2n-1

]=______．

题型：不详难度：| 查看答案

（任选一题）
（1）已知α、β为实数，给出下列三个论断：
①|α-β|≤|α+β|②|α+β|＞5 ③|α|＞2

，|β|＞2

以其中的两个论断为条件，另一个论断为结论，写出你认为正确的命题是______．
（2）设{a_n}和{b_n}都是公差不为零的等差数列，且

lim

n→∞

=2，则

lim

n→∞

b1+b2+…+bn

na2n

的值为______．

题型：不详难度：| 查看答案

定义域为R，且对任意实数x₁，x₂都满足不等式f（

x1+x2

）≤

f(x1)+f(x2)

的所有函数f（x）组成的集合记为M，例如，函数f（x）=kx+b∈M．
（1）已知函数f（x）=

x，x≥0

x，x＜0

，证明：f（x）∈M；
（2）写出一个函数f（x），使得f（x₀）∉M，并说明理由；
（3）写出一个函数f（x）∈M，使得数列极限

lim

n→∞

f(n)

=1，

lim

n→∞

f(-n)

-n

=1．

题型：上海难度：| 查看答案

已知首项为a、公比为r的无穷等比级数和等于5；首项为a、公比为3r的无穷等比级数和等于7，则首项为a、公比为2r的无穷等比级数和等于______．

题型：台湾难度：| 查看答案

定义x₁，x₂，…，x_n的“倒平均数”为

x1+x2+…+xn

（n∈N^*）．
（1）若数列{a_n}前n项的“倒平均数”为

2n+4

，求{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}满足：当n为奇数时，b_n=1，当n为偶数时，b_n=2．若T_n为{b_n}前n项的倒平均数，求

lim

n→∞

Tn；
（3）设函数f（x）=-x²+4x，对（1）中的数列{a_n}，是否存在实数λ，使得当x≤λ时，f（x）≤

n+1

对任意n∈N^*恒成立？若存在，求出最大的实数λ；若不存在，说明理由．

题型：嘉定区一模难度：| 查看答案