已知a,b为正数,求证:(1)若+1>,则对于任何大于1的正数x,恒有ax+>b成立.(2)若对于任何大于1的实数x,恒有ax+>b成立,则+
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已知a,b为正数,求证:(1)若+1>,则对于任何大于1的正数x,恒有ax+>b成立.(2)若对于任何大于1的实数x,恒有ax+>b成立,则+
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来源:
已知a,b为正数,求证:
(1)若
+1>
,则对于任何大于1的正数x,恒有ax+
>b成立.
(2)若对于任何大于1的实数x,恒有ax+
>b成立,则
+1>
.
答案
见解析
解析
证明:(1)∵x>1,∴ax+
=a(x-1)+
+1+a≥2
+1+a=(
+1)
2
.
∵
+1>
(b>0),
∴(
+1)
2
>b.
即ax+
>b.
(2)∵ax+
>b对于大于1的实数x恒成立,
即x>1时,[ax+
]
min
>b,
而ax+
=a(x-1)+
+1+a≥2
+1+a=(
+1)
2
,
当且仅当a(x-1)=
,
即x=1+
>1时取等号.
故[ax+
]
min
=(
+1)
2
.
则(
+1)
2
>b,即
+1>
.
举一反三
观察下列不等式:1>
,1+
+
>1,1+
+
+ +
>
,1+
+
+ +
>2,1+
+
+ +
>
, ,由此猜测第n个不等式为
(n∈N
*
).
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使不等式
成立的正整数a的最大值是 ( )
A.10
B.11
C.12
D.13
题型:不详
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设m>n,n∈N
+
,x>1,a=(lgx)
m
+(lgx)
-m
,b=(lgx)
n
+(lgx)
-n
,则a与b的大小关系为( )
A.a≥b
B.a≤b
C.与x的值有关,大小不定
D.以上都不正确
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三个数a=0.3
2
,
之间的大小关系是( )
A.b<c<a
B.c<b<a
C.b<a<c
D.a<c<b
题型:不详
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已知a,b均为正数,且a+b=1,证明:
(1)
(2)
题型:不详
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