【题文】已知函数的定义域为,对于任意的,都有,且当时,,若.(1)求证:为奇函数;(2)求证:是上的减函数;(3)求函数在区间上的值域.
【题文】已知函数的定义域为,对于任意的,都有,且当时,,若.(1)求证:为奇函数;(2)求证:是上的减函数;(3)求函数在区间上的值域.
题型:难度:来源:
【题文】已知函数
的定义域为
,对于任意的
,都有
,且当
时,
,若
.
(1)求证:
为奇函数;
(2)求证:
是
上的减函数;
(3)求函数
在区间
上的值域.
答案
【答案】(1)证明:见解析;
(2)证明:见解析;(3)函数
在区间
上的值域为
.
解析
【解析】(1)赋值求出
,即证出
为奇函数;(2)利用函数单调性定义和奇函数证出
是
上的减函数;(3)由(2)得函数
在区间
上的最大值是
;最小值是
.
(1)证明:
的定义域为
,令
,则
,
令
,则
,即
.
,故
为奇函数.
4分
(2)证明:任取
且
,
则
又
,
,
,
即
.
故
是
上的减函数.
8分
(3)解:
又
为奇函数,
由(2)知
是
上的减函数,
所以当
时,
取得最大值,最大值为
;
当
时,
取得最小值,最小值为
.
11分
所以函数
在区间
上的值域为
.
12分
举一反三
【题文】若函数
在区间
上是增函数,则有( )
【题文】函数
的单调递减区间为
【题文】下列四个函数中,在
上为增函数的是( )
【题文】 偶函数
在区间
单调增加,则满足
的
取值范围是( )
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