【题文】已知定义域为的函数是奇函数.(1)求的值;(2)判断函数的单调性,并求其值域;(3)解关于的不等式.
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【题文】已知定义域为
的函数
是奇函数.
(1)求
的值;
(2)判断函数
的单调性,并求其值域;
(3)解关于
的不等式
.
答案
【答案】(1)
;(2)
在
上为减函数,函数
的值域为
;(3)
.
解析
【解析】
试题分析:(1)因为
为奇函数,所以
代入
中求得:
;(2)
(2)根据(1)得到
的解析式,再利用求导(或定义法)证明其单调性,进一步求得其值域;(3)因为
是奇函数
,等价于
进一步根据单调性求得不等式的解.
试题解析:(1)因为
是奇函数,
,解得:
.;经检验,当
时,函数
是奇函数.(若不检验,则扣1分)
(2)由(1)知
由上式易知
在
上为减函数(此处可用定义或导数法证明函数
在
上是减函数).
由于函数
的定义域为
,所以
,因此
,所以
,函数
的值域为
(3)因
是奇函数,从而不等式
等价于
因
是减函数,由上式推得
,
即
解不等式可得
.
考点:1.函数的奇偶性;2.函数的单调性及值域;3.解不等式.
举一反三
【题文】设
是定义在实数集
上的函数,且满足下列关系
,
,则
是( ).
A.偶函数,但不是周期函数 | B.偶函数,又是周期函数 |
C.奇函数,但不是周期函数 | D.奇函数,又是周期函数 |
【题文】已知函数
上的奇函数,且
,当
时,
,则
__.
【题文】已知定义域为
的函数
是奇函数.
(1)求
的值;
(2)判断函数
的单调性,并求其值域;
(3)解关于
的不等式
.
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