设函数f(x)=1/3x3−(1+a)x2+4ax+24a,其中常数a>1. (1)讨论f(x)的单调性; (2)若当x≥0时,f(x)>0恒成立,求a的取值范围.
题目
设函数
f(x)=x3−(1+a)x2+4ax+24a,其中常数a>1.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若当x≥0时,f(x)>0恒成立,求a的取值范围.
答案
(1)f′(x)=x
2-2(1+a)x+4a=(x-2)(x-2a),(2分)
由已知a>1,∴2a>2,∴令f′(x)>0,解得x>2a或x<2,
令f′(x)<0,解得2<x<2a,(5分)
故当a>1时,f(x)在区间(-∞,2)和(2a,+∞)上是增函数,在区间(2,2a)上是减函数.(6分)
(2)由(1)知,当x≥0时,f(x)在x=2a或x=0处取得最小值.(7分)
f(2a)=(2a)3−(1+a)(2a)2+4a•2a+24a=
−a3+4a2+24a=−a(a−6)(a+3),f(0)=24a.(9分)
则
即
解得1<a<6,
故a的取值范围是(1,6).(14分)
(1)先求出导函数,利用导数大于0对应的为原函数的增区间,导数小于0对应的为原函数的减区间,即可求f(x)的单调性;
(2)由(1)知,当x≥0时,f(x)在x=2a或x=0处取得最小值,所以须满足最小值大于0,解不等式组
即可求a的取值范围.
利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.
本题主要考查利用导数求闭区间上函数的最值以及研究函数的单调性和函数恒成立问题,是对知识的综合考查,也是高考常考题型.
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
最新试题
- 解释加点的词(尽量全吧)
- 用描述法表示这个集合(1,- 3 ,5,- 7 ……-39,41)
- 读读乡愁这首现代诗,领会其中的感情,写一写你联想的其他诗句
- 向50mL18mol/L的H2SO4溶液中加入足量的铜片并加热.充分反应后被还原的H2SO4的物质的量
- 如何写六年级生活之预测作文
- 六一节,杨老师计划去文具店为二十个小朋友买单价八元的笔记本作为奖品,正好遇上商店搞促销活动,笔记本每本售5元,接着用剩下来钱买了单价7元的笔袋,做多可买几只?
- 把含盐5%的食盐水与含盐8%的食盐水混合制成含盐6%的食盐水600克,分别应取两种食盐水各多少千克?
- 英语翻译
- 读到“孙悟空、太上老君、炼丹、踢翻”等词,我会联想到成语“_____________”.
- 下列五个命题:(1)两个端点能够重合的弧是等弧;(2)圆的任意一条弧必定把圆分成劣弧和优弧两部分(3)经过平面上任意三点可作一个圆;(4)任意一个圆有且只有一个内接三角形(
热门考点