若函数f(x)满足方程af(x)+f(1/x)=ax,x∈R且x≠0,a为常数,且a≠±1,求f(x)的解析式.
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若函数f(x)满足方程af(x)+f(1/x)=ax,x∈R且x≠0,a为常数,且a≠±1,求f(x)的解析式.
题目
若函数f(x)满足方程af(x)+f(
1
x
答案
∵af(x)+f(
1
x
)=ax…①,且x≠0,
∴af(
1
x
)+f(x)=
a
x
…②;
∴①×a,得
a
2
f(x)+af(
1
x
)=a
2
x…③;
③-②,得
(a
2
-1)f(x)=a
2
x-
a
x
,
又∵a≠±1,∴a
2
-1≠0;
∴f(x)=
a
2
x
2
−a
a
2
x−x
.
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