若关于x的方程4−x2−kx−3+2k＝0有且只有两个不同的实数根，则实数k的取值范围是（　　） A.(512，+∞) B.(512，1] C.(0，512] D.(512，34]

题目

若关于x的方程

4−x2

−kx−3+2k＝0有且只有两个不同的实数根，则实数k的取值范围是（　　）
A. (

5

12

，+∞)
B. (

5

12

，1]
C. (0，

5

12

]
D. (

5

12

，

3

4

]

答案

将方程

4−x2

−kx−3+2k＝0转化为：
半圆y＝

4−x2

，与直线y=kx+3-2k有两个不同交点．
当直线与半圆相切时，有

|3−2k|

k2+1

＝2
k=

5

12

∴半圆y＝

4−x2

与直线y=kx+3-2k有两个不同交点时．
直线y=kx+3-2k=k（x-2）+3，一定过（2，3），由图象知直线过（-2，0）时直线的斜率k取最大值为

3

4

k∈(

5

12

，

3

4

]
故选D

先将方程根的情况转化为一个半圆与一条直线交点的情况，再用数形结合，先求出相切时的斜率，再得到有两个交点的情况．

本题考点：直线与圆相交的性质；二次函数的图象．

考点点评：本题主要考查用解析几何法来解决方程根的情况，关键是能够转化为一些特定的曲线才能用数形结合求解．