已知f（x）=ax2+bx（a≠0）满足f（x-1）=f（3-x）且方程f（x）=2x有两个等根，求f（x）的解析式．

题目

已知f（x）=ax²+bx（a≠0）满足f（x-1）=f（3-x）且方程f（x）=2x有两个等根，求f（x）的解析式．

答案

∵f（x-1）=f（3-x），
∴对称轴是x=1，即−

b

2a

＝1，①
∵方程f（x）=2x有两个相等的实数根，即ax²+（b-2）x=0有两个相等的实数根，
∴△=（b-2）²=0，
∴b=2，②
由①②，可得，a=-1，b=2，
∴f（x）=-x²+2x．