双曲线C的中心在原点,焦点在y轴上,其顶点A、B向平行于虚轴的动弦PQ所张的角互补.

题目

双曲线C的中心在原点,焦点在y轴上,其顶点A、B向平行于虚轴的动弦PQ所张的角互补.
(1) 求证：双曲线C为等轴双曲线
(2)双曲线C与圆D:(x-4)^2+(y-6)^2=13的两个交点M,N的连线段MN正好是圆D直径,试求双曲线C的方程.

答案

(1)由题知双曲线方程可为：y^2/a^2-x^2/b^2=1(a＞0,b＞0),设P(x0,y0),则Q(－x0,y0),
∵∠PAQ+∠PBQ=180°,∴∠PAE+∠PBE=90°
∴tan∠PAE•tan∠PBE=|x0/(y0-a)|•|x0/(y0+a)|=|x0^2/(y0^2-a^2)|
将双曲线方程代入上式可得tan∠PAE•tan∠PBE=b^2/a^2=1
∴a=b(a=-b舍去),
∴双曲线C是一条等轴双曲线
(2)由(1)知双曲线C的方程为y2-x2=a2.设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1^2 -x1 ^2=a^2,y2^2 -x2 ^2=a^2,
∴(y1+y2)•(y1-y2)-(x1+x2)(x1-x2)=0
∵MN的中点为D(4,6),
∴12(y1-y2)-8(x1-x2)=0,(y1-y2)/(x1-x2)=8/12=2/3
即Kmn=2/3
∴MN:y-6= 2(x-4)/3
代入圆的方程得：(x-4)^2+(x-4)^2•4/9=13,
∴x=7或1,
∴M点的坐标为(7,8)或(1,4)
代入双曲线方程得a^2=8^2-7^2(或4^2－1^2)=15,
∴双曲线方程为y^2-x^2=15.