已知α、β是方程x2-2x-1=0的两个实数根，求3α2-β2-8α+1的值（用两种方法解答）

题目

已知α、β是方程x²-2x-1=0的两个实数根，求3α²-β²-8α+1的值（用两种方法解答）

答案

解法（一）∵α、β是方程x²-2x-1=0的两个实数根，
∴α²-2α-1=0，β²-2β-1=0，α+β=2，
∴α²=2α+1，β²=2β+1，
∴3α²-β²-8α+1=3（2α+1）-（2β+1）-8α+1
=-2（α+β）+3
=-2×2+3
=-1；
解法（二）根据题意得α+β=2，即β=2-α，
所以3α²-β²-8α+1=3α²-（2-α）²-8α+1
=2（α²-2α）-3，
而α是方程x²-2x-1=0的实数根，
则α²-2α-1=0，即α²-2α=1，
所以3α²-β²-8α+1=2×1-3=-1．