圆锥曲线,曲线方程

题目

圆锥曲线,曲线方程
已知双曲线焦点为F1(-c,0) F2(c,0) ,过F2且斜率为根号下五分之三的直线交双曲线于P,Q两点,若OP垂直于OQ ,PQ长为4,求曲线方程

答案

由已知
设P(x1,y2),Q(x2,y2),双曲线方程:b²x²-a²y²=a²b² 及直线为y=k(x-c)
把直线y=k(x-c)(注:k=√(3/5)=√15/5)代入b²x²-a²y²=a²b²中
得：(a²k²-b²)x²-2a²ck²x+(a²c²k²+a²b²)=0
x1+x2=2a²ck²/(a²k²-b²),
x1x2=(a²c²k²+a²b²)/(a²k²-b²)
∵OP⊥OQ
∴x1x2+y2y2=0,x1x2+k²(x1-c)²(x2-c)=0,(注:k²=3/5)
5x1x2+3(x1-c)(x2-c)=0
8x1x2-3c(x1+x2)+3c²=0
8(a²c²k²+a²b²)/(a²k²-b²)-6a²c²k²/(a²k²-b²)+3c²=0
3a^4+8a²b²-3b²4=0
(3a²-b²)(a²+3b²)=0
3a²-b²=0,b²=3a²,c²=4a²
x1+x2=2a²ck²/(a²k²-b²)=-c/2
x1x2=(a²c²k²+a²b²)/(a²k²-b²)=-9a/4
|PQ|=4,∴PQ的中点到的距离O为2
[(x1+x2)/2]²+[(y1+y2)/2]²=4
c²/16+[k(-5c/4]²=4
c²=4,∴a²=1,b²=3
双曲线方程:3x²-y²=3 即 x²-y²/3=1