已知幂函数y=f(x)的图象过点(2,2) (1)求函数f(x)的解析式; (2)判断函数f(x)的奇偶性,并说明理由; (3)判断函数f(x)的单调性,并说明理由.
题目
已知幂函数y=f(x)的图象过点(2,
)
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)判断函数f(x)的奇偶性,并说明理由;
(3)判断函数f(x)的单调性,并说明理由.
答案
(1)设幂函数为f(x)=x
α,∵幂函数y=f(x)的图象过点(2,
)
∴f(2)=
,即
2α=,解得
α=,即f(x)=x
=
.
(2)函数的定义域为{x|x≥0},定义域关于原点不对称,∴函数f(x)为非奇非偶函数.
(3)函数f(x)=
x在[0,+∞)上单调递增.
∵
>0,
∴根据幂函数的性质可知,在第一象限内,幂函数单调递增.
(1)根据条件确定函数的解析式即可.
(2)根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性.
(3)利用函数的单调性判断函数的单调性.
函数奇偶性的判断;函数解析式的求解及常用方法;函数单调性的判断与证明.
本题主要考查幂函数的图象和性质,利用待定系数法法先求出幂函数的表达式,利用幂函数的图象和性质判断函数的奇偶性和单调性.
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