已知函数f（x）=3x/x+3，数列{xn}的通项由xn=f（xn-1）（n≥2，n∈N+）确定． （Ⅰ）求证：{1/xn}是等差数列； （Ⅱ）当x1=1/2时，求x100．

题目

已知函数f（x）=

3x

x+3

答案

（Ⅰ）证明：∵x_n=f（x_n-1）=

3xn−1

xn−1+3

∴

1

xn

=

1

3

+

1

xn−1

∴

1

xn

−

1

xn−1

＝

1

3

∴{

1

xn

}是等差数列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得

1

xn

=2+（n-1）×

1

3

=

n+5

3

∴x₁₀₀=

3

105

=

1

35