已知abc均为正实数,且a+b+c=1,求证（1/a-1)(1/b-1)(1/c-1)大于等于8

题目

已知abc均为正实数,且a+b+c=1,求证（1/a-1)(1/b-1)(1/c-1)大于等于8

答案

这个题证法很多,给你两种：
证法一：
1/a-1=(a+b+c)/a-1=(b+c)/a≥2【√(bc)】/a
1/b-1=(c+a)/b≥2【√(ca)】/b
1/c-1=(a+b)/c≥2【√(ab)】/c
(1/a-1)(1/b-1)(1/c-1)≥2【√(bc)】/a*2【√(ca)】/b*2【√(ab)】/c
=8abc/abc=8
当且仅当a=b=c=1/3时取等号.
证法二：
因为a+b+c=1,
所以(1/a-1)(1/b-1)(1/c-1)
=[(a+b+c)/a-1][(a+b+c)/b-1][(a+b+c)/c-1]
=(1+b/a+c/a-1)(1+a/b+c/b-1)(1+a/c+b/c-1)
=(b/a+c/a)(a/b+c/b)(a/c+b/c)
≥(2bc/a^2)(2ac/b^2)(2ab/c^2)
=8
当且仅当a=b=c=1/3时取等号.