已知函数f(x)=log1/2(ax2+3x+a+1) (1)当a=0时,求函数f(x)的定义域; (2)对于x∈[1,2],不等式(1/2)f(x)−3x≥2恒成立,求正实数a的取值范围.
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已知函数f(x)=log1/2(ax2+3x+a+1) (1)当a=0时,求函数f(x)的定义域; (2)对于x∈[1,2],不等式(1/2)f(x)−3x≥2恒成立,求正实数a的取值范围.
题目
已知函数
f(x)=lo
g
答案
(1)当a=0时,由函数f(x)=
lo
g
1
2
(3x+1)
,
可得3x+1>0,
故函数的定义域为(-
1
3
,+∞).
(2)∵对于x∈[1,2],不等式
(
1
2
)
f(x)
−3x≥2
恒成立,
即 ax
2
+3x+a+1-3x≥2,
即a≥
1
x
2
+1
恒成立.
由于函数
1
x
2
+1
在[1,2]上是减函数,
故当x=1时,
1
x
2
+1
取得最大值为
1
2
,
∴a≥
1
2
,即a的范围是[
1
2
,+∞).
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