已知函数f(x)=3x/x+3,数列{xn}的通项由xn=f(xn-1)(n≥2,n∈N+)确定. (Ⅰ)求证:{1/xn}是等差数列; (Ⅱ)当x1=1/2时,求x100.
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已知函数f(x)=3x/x+3,数列{xn}的通项由xn=f(xn-1)(n≥2,n∈N+)确定. (Ⅰ)求证:{1/xn}是等差数列; (Ⅱ)当x1=1/2时,求x100.
题目
已知函数f(x)=
3x
x+3
答案
(Ⅰ)证明:∵x
n
=f(x
n-1
)=
3
x
n−1
x
n−1
+3
∴
1
x
n
=
1
3
+
1
x
n−1
∴
1
x
n
−
1
x
n−1
=
1
3
∴
{
1
x
n
}
是等差数列;
(Ⅱ)由(Ⅰ)得
1
x
n
=2+(n-1)×
1
3
=
n+5
3
∴x
100
=
3
105
=
1
35
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