已知函数fx的定义域为R,且满足fx为偶函数,f（x-1）为奇函数,f（0.5 ）=3,则f2012+f2014+f负2.5等于

题目

已知函数fx的定义域为R,且满足fx为偶函数,f（x-1）为奇函数,f（0.5 ）=3,则f2012+f2014+f负2.5等于
求讲解

答案

f(x)是偶函数得f(-x)=f(x)
f(x-1)是奇函数得f(-x-1)=-f(x-1),以x-1代换成x得f(-x-2)=-f(x)
于是f(x+2)=f(-x-2)=-f(x),f(x+4)=-f(x+2)=f(x),所以f(x)是周期为4的周期函数.
f(2012)=f(4×503)=f(0)
f(2014)=f(4×503+2)=f(2)
又f(0)+f(2)=0
f(-2.5)=f(2.5)=-f(0.5)=-3
所以f(2012)+f(2014)+f(-2.5)=-3