已知函数f(x)=e^x/a+a/e^x(a>0)是R上的偶函数,求a的值,证明函数f(x)在[0,+∞)上是增函数.

题目

已知函数f(x)=e^x/a+a/e^x(a>0)是R上的偶函数,求a的值,证明函数f(x)在[0,+∞)上是增函数.

答案

由f(-x)=ae^x+1/(ae^x)=f(x)=e^x/a+a/e^x
得a^2e^2x+1=e^2x+a^2
(a^2-1)(e^2x-1)=0
因此只能a^2-1=0
因a>0,故a=1
f(x)=e^x+1/e^x
x>0,e^x>1为增函数,y=x+1/x在x>1时也为增函数,
所以f(x)为增函数.