能被30整除且正好有30个正约数的最大自然数是多少

题目

能被30整除且正好有30个正约数的最大自然数是多少

答案

设正整数分解质因数P1^a1*P2^a2*...*Pn^an,
则它的约数的个数为(a1+1)(a2+1)(a3+3)...(an+1)
因为题中要求的数能被30整除,所以必然含有质因数2,3,5,
设此数为2^a1*3^a2*5^a3.
则它的约数个数为(a1+1)(a2+1)(a3+1),
又因为30=2*3*5,所以此数没有除2,3,5之外的质因数,所以a1+1,a2+1,a3+1只能是2,3,5或者3,2,5或5,2,3或5,3,2或2,5,3或3,5,2,共有6个.
则a1,a2,a3只能取1,2,4或2,1,4或4,1,2或4,2,1或1,4,2或2,4,1.
即该6个自然数分别为
2^1*3^2*5^4=11250
2^2*3^1*5^4=7500
2^4*3^1*5^2=1200
2^4*3^2*5^1=720
2^1*3^4*5^2=4050
2^2*3^4*5^1=1620
所以综上所述,最大自然数是11250