计算二重积分∫∫D arctan﹙y/x﹚dxdy,D是1≤x²﹢y²≤4,y≥0,y≤x围成的区域

题目

计算二重积分∫∫D arctan﹙y/x﹚dxdy,D是1≤x²﹢y²≤4,y≥0,y≤x围成的区域

答案

化为极坐标x=pcosty=psint∫∫D arctan﹙y/x﹚dxdy=∫(0→π/4)∫(1→2)arctan(tant)p dp dt=∫(0→π/4)tdt ∫(1→2)pdp=0.5t²(0→π/4) 0.5p²(1→2)=(π²/32)*(3/2) =3π²/64...