函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x＝−2/3与x=1时都取得极值 （1）求a，b的值； （2）函数f（x）的单调区间．

题目

函数f（x）=x³+ax²+bx+c在x＝−

2

3

与x=1时都取得极值
（1）求a，b的值；
（2）函数f（x）的单调区间．

答案

（1）f′（x）=3x²+2ax+b，
由题意：

f‘(− 2 3 ) ＝0 f’(1)＝0

即

3×(− 2 3 )2− 4 3 a+b＝0  3+2a+b＝0

解得

a＝− 1 2 b＝−2

（2）由（1）可知f（x）=x³-

1

2

x²-2x+c  
∴f′（x）=3x²-x-2
令f′（x）＜0，解得-

2

3

＜x＜1；
令f′（x）＞0，解得x＜-

2

3

或x＞1，
∴f（x）的减区间为（-

2

3

，1）；增区间为（-∞，-

2

3

），（1，+∞）．

（1）求出f′（x）并令其=0得到方程，把x=-

2

3

和x=1代入求出a、b即可；
（2）求出f′（x），分别令f′（x）＜0，f′（x）＞0，求出x的范围，即可得到函数f（x）的单调区间．

本题考点：函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性．

考点点评：考查学生利用导数求函数极值的能力，利用导数研究函数单调性的能力，以及掌握不等式的解法．