设一曲线过原点且在该曲线上任意一点（x，y）处的切线斜率为x3，则该曲线方程为_．

题目

设一曲线过原点且在该曲线上任意一点（x，y）处的切线斜率为x³，则该曲线方程为______．

答案

曲线上任意一点（x，y）处的切线斜率为x³，即

dy

dx

＝x3
对上述微分方程积分可得：y＝∫

dy

dx

dx＝∫x3dx＝

1

4

x4+C，C为任意常数．
因为曲线经过原点，所以，将原点坐标（0，0）代入上述方程可得：C=0
所以，曲线方程为y＝

1

4

x4．