若a为自然数,则a的4次方－3a方＋9案是质数还是和数,请给出证明

题目

若a为自然数,则a的4次方－3a方＋9案是质数还是和数,请给出证明

答案

a的4次方－3a方＋9=(a^2+3)^2-9a^2=(a^2-3a+3)(a^2+3a+3)
因为a为自然数,所以,
如果a^2-3a+3=1
则a=1或a=2
当a=1时,
a^2+3a+3=10=2*5
a的4次方－3a方＋9是合数
当a=2时,
a^2+3a+3=13
a的4次方－3a方＋9是质数
所以,只有当a=2时,a的4次方－3a方＋9才是质数,其余时候都是合数.