关于拉格朗日中值定理的疑问

题目

关于拉格朗日中值定理的疑问
函数为：f(x)=x^2*sin(1/x),x≠0；f(0)=0,则f(x)连续,可导
f'(x)=2xsin(1/x)-cos(1/x),x≠0；f'(0)=0为f'(x)的无穷间断点
由拉格朗日中值定理[f(x)-f(0)]/x=f'(ξ) ,（00
所以当x—>0时,limf'(x)=f'(0)
所以f'(x)在x=0处连续,与“f'(0)=0为f'(x)的无穷间断点”矛盾

答案

所以当x—>0时,limf'(x)=f'(0)
这一句有问题,因为只能说对满足
[f(x)-f(0)]/x=f'(ξ(x))
的那些ξ,
当ξ足够小时f'(ξ)足够接近f'(0)
但是要注意的是满足中值定理的ξ并没有占据x=0附近的所有点,要让x=0附近的任意一点x,满足x离0足够近时,f'(x)都能足够接近f'(0)才行,只有满足中值定理的那些ξ是不够的.