若关于x的方程lg(ax)*lg(ax^2)=4有两个小于1的正根α,β,且满足|lgα-lgβ|≤2√3,求实数a的取值范围

题目

若关于x的方程lg(ax)*lg(ax^2)=4有两个小于1的正根α,β,且满足|lgα-lgβ|≤2√3,求实数a的取值范围

答案

由题意 ,真数 ax >0 ,又x是正实数 ,故lg(ax) = lga + lgx ,
lg(ax^2) = lga + 2lgx ,即a也大于零 .原方程可化为：
[lga + lgx][lga + 2lgx] = 4 ,因为x < 1 ,故lgx < 0 ,令t = lgx ,
则题意相当于：方程[t + lga][2t + lga] = 4有两个负数根 ,展开并根据韦达定理 ,t1 + t2 = (-3lga)/2 < 0 ,ti·t2 = [(lga)^2 - 4]/2 > 0 ,得到：
lga > 2 ,a > 100 ,则可令t1 = lgα ,t2 = lgβ由0《|lgα-lgβ|≤2√3 ,
|lgα-lgβ|^2≤12 ,(lgα + lgβ)^2 - 4lgα·lgβ 《 12 ,由韦达定理 ,
整理得到 ：(lga)^2 《 16 ,由前述lga > 0 ,得到 ：lga 《 4 ,故
a 《 10000 ,所以a的范围是：（100 ,10000】