已知实数x,y满足x²+y²+2x-2y=0,求x²+y²的最大值 x+y的最小值,y/x-2的取值范围

题目

已知实数x,y满足x²+y²+2x-2y=0,求x²+y²的最大值 x+y的最小值,y/x-2的取值范围

答案

这个用作图法直接求比较方便.
∵x²+y²+2x-2y=0,
∴（x+1）²+（y-1）²=2,作出图线,圆上每个点的坐标即对应一组x,y的值；
设x²+y²=a,即以原点为圆心、根号a为半径的圆,作出图形,且图形必须与原条件有共同值（即两圆有交点）
又∵求a的最大值,即作出满足条件时的最大圆（如图红线）
显然,交点处x<0,y>0,x+y=0,即x=-2,y=2,此时最大值a=8；
设x+y=b,即一条直线y=-x+b,斜率为-1,截距为b,作出图线（必须与圆有交点）
又∵求b的最小值,即作出直线截距最小（如图蓝线）
显然,交点处x<0,y<0,x-y=0,即x=-2,y=-2,此时最小值b=-4；
设y/x-2=c,即直线y=c（x-2）,斜率为c,过定点（2,0）,作出图线（必须与圆有交点）
又∵求c的范围,作出极限值（最大、最小值）（如图绿线）
显然,极限情况为直线与圆相切（这里具体的值我就不求了,可以联立两个方程消元得一元二次方程然后利用根的判别式等于0就可以直接把两个值求出来了~）