已知一元二次方程x²+bx+a=0的两个整数根比x²+ax+c=0的两个根都大1,求a+b+c的值

题目

已知一元二次方程x²+bx+a=0的两个整数根比x²+ax+c=0的两个根都大1,求a+b+c的值

答案

设x²+bx+a=0的两根为m、n,则m+n=-b,mn=a,m-1+n-1=-a,（m-1)(n-1)=c
a=b+2,c=2a-1=2b+3；
m+n=-b,mn=b+2,（m-n)²=（m+n)²-4mn=b²-4b-8=（b-2)²-12
令b-2=p,m-n=q,则有：p、q必为整数且（p+q)(p-q)=12,p+q与p-q均为12的因数,
可求得：p=4,q=-2或p=4,q=2或p=-4,q=-2或p=-4,q=2
则b-2=±4,b=6或-2
a+b+c=4b+5=29或-3