已知关于x的方程sinx+cosx=a的解集是空集，则实数a的取值范围是 _ ．

题目

已知关于x的方程sinx+cosx=a的解集是空集，则实数a的取值范围是 ___ ．

答案

方程化简为：

2

sin（ x+

π

4

）=a
即 sin（ x+

π

4

）=

2 a

2

      
若没有解集，那么

2 a

2

>1或

2 a

2

<-1
解得  a>

2

或a<-

2

；
故答案为：(-∞，-

2

)∪(

2

，+∞)

利用两角和的正弦函数化简方程sinx+cosx=a为：

2

sin（ x+

π

4

）=a  解集是空集，
就是a不在[-

2

，

2

]区间内，求出即可．

本题考点：三角函数的最值；空集的定义、性质及运算．

考点点评：本题考查三角函数的最值，空集的概念，考查计算能力，解题的关键是：a不在[-

2

，

2

]区间内．是基础题．