已知正整数a,b,c满足a+b²-2c-2=0,3a²-8b+c=0,则abc的最大值为

题目

已知正整数a,b,c满足a+b²-2c-2=0,3a²-8b+c=0,则abc的最大值为

答案

由题意：a+b²-2c-2=0 (1)
3a²-8b+c=0 (2)
(1)*24+(2)*48　得
144a²+24a+24b²-384b-48=0
配平方后得
(12a+1)²+24(b-8)²-1585=0 (3)
因24(b-8)²≥0
故有：
(12a+1)²≤1585
又因a,b,c为正整数,解之得
12a+1≤39
1≤a≤3
将a=1；a=2依次代入(3),得到求得的b不为整数,故舍去.将a＝3代入(3)得到
　　　　(b-8)²＝9　　解之得：
b1=5；b2＝11
将a=3,b=5代入（1）得到第一组解a=3；b＝5；c=13
于是：
abc=195
将a=3,b=11代入（1）得到第一组解a=3；b＝11；c=61
于是：
abc=2013
故abc的最大值为2013