数列{an}的前N项和为Sn，a1=1，an+1=2Sn（n∈N*）． （Ⅰ）求数列{an}的通项an； （Ⅱ）求数列{nan}的前n项和Tn．

题目

数列{a_n}的前N项和为S_n，a₁=1，a_n+1=2S_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项a_n；
（Ⅱ）求数列{na_n}的前n项和T_n．

答案

（I）∵a_n+1=2S_n，
∴S_n+1-S_n=2S_n，
∴

Sn+1

Sn

=3．
又∵S₁=a₁=1，
∴数列{S_n}是首项为1、公比为3的等比数列，S_n=3^n-1（n∈N*）．
∴当n≥2时，a_n-2S_n-1=2•3^n-2（n≥2），
∴a_n=

1 ，n＝1 2•3n−2 ，n≥2

（II）T_n=a₁+2a₂+3a₃+…+na_n，
当n=1时，T₁=1；
当n≥2时，Tn=1+4•3⁰+6•3¹+…+2n•3^n-2，①3T_n=3+4•3¹+6•3²+…+2n•3^n-1，②
①-②得：-2Tn=-2+4+2（3¹+3²+…+3^n-2）-2n•3^n-1=2+2•

3(1−3n−2)

1−3

−2n•3n−1=-1+（1-2n）•3n-1
∴Tn=

1

2

+（n-

1

2

）3^n-1（n≥2）．
又∵Tn=a₁=1也满足上式，∴Tn=

1

2

+（n-

1

2

）3^n-1（n∈N*）

（I）利用递推公式a_n+1=2S_n把已知转化为a_n+1与a_n之间的关系，从而确定数列a_n的通项；
（II）由（I）可知数列a_n从第二项开始的等比数列，设b_n=n则数列b_n为等差数列，所以对数列n•a_n的求和应用乘“公比”错位相减．

本题考点：数列的求和；数列递推式．

考点点评：本小题考查数列的基本知识，考查等比数列的概念、通项公式及数列的求和，考查分类讨论及化归的数学思想方法，以及推理和运算能力．