Rt△ABC中，∠A=90°，角平分线AE、中线AD、高线AH的大小关系是（　　） A.AH＜AE＜AD B.AH＜AD＜AE C.AH≤AD≤AE D.AH≤AE≤AD

题目

Rt△ABC中，∠A=90°，角平分线AE、中线AD、高线AH的大小关系是（　　）
A. AH＜AE＜AD
B. AH＜AD＜AE
C. AH≤AD≤AE
D. AH≤AE≤AD

答案

①Rt△ABC中，AB=AC；（图①）
根据等腰三角形三线合一的性质知：
AD、AH、AE互相重合，此时AD=AH=AE；
②Rt△ABC中，AB≠AC；（设AC＞AB，如图②）
在Rt△AHE中，由于AE是斜边，故AE＞AH；
同理可证AD＞AH；
∵∠AED＞∠AHD=90°，∠ADH＜∠AHE=90°
∴∠AED＞∠ADE；
根据大角对大边知：AD＞AE；
即AD＞AE＞AH；
综上所述，角平分线AE、中线AD、高线AH的大小关系是AH≤AE≤AD；
故选D．