已知定义在实数集R上的偶函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调增函数． （1）求证：函数f（x）在区间（-∞，0]上是单调减函数 （2）若f（1）＜f（lgx），求x的取值范围．

题目

已知定义在实数集R上的偶函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调增函数．
（1）求证：函数f（x）在区间（-∞，0]上是单调减函数
（2）若f（1）＜f（lgx），求x的取值范围．

答案

（1）证明：设x₁＜x₂≤0，则-x₁＞-x₂≥0
∵f（x）在区间[0，+∞）上是单调增函数．
∴f（-x₁）＞f（-x₂）
又定义在实数集R上的偶函数f（x）
∴f（-x₁）=f（x₁），f（-x₂）=f（x₂），f（x₁）＞f（x₂）
∴函数f（x）在区间（-∞，0]上是单调减函数
（2）当0＜x≤1时，lgx＜0
由f（1）＜f（lgx）得f（-1）＜f（lgx），函数f（x）在区间（-∞，0]上时单调减函数
∴−1＞lgx，0＜x＜

1

10

当x≥1时，lgx＞0
由f（1）＜f（lgx），f（x）在区间[0，+∞）上是单调增函数
∴lgx＞1，x＞10
综上所述，x的取值范围是(0，

1

10

]∪​[10，+∞)