2的a次方=5的b次方=10的c次方,求证：ab=ac+bc

题目

2的a次方=5的b次方=10的c次方,求证：ab=ac+bc

答案

证明：因为2^a=5^b=10^c≠1,所以a、b、c≠0.
在2^a=10^c的两边同乘1/a次方,得
(2^a)^(1/a)=(10^c)^(1/a)
2=10^(c/a)
在5^b=10^c的两边同乘1/b次方,得
(5^b)^(1/b)=(10^c)^(1/b)
5=10^(c/b)
把所得两式相乘得
2×5=10^(c/a)×10^(c/b)
10=10^(c/a+c/b)
底数相同,所以次数相等,可得
1=c/a+c/b
两边同乘以ab,得
ab=ac+bc