双曲线上的点 到两个顶点的连线的斜率的乘积 是一个定值 而且这个定值等于?

题目

双曲线上的点 到两个顶点的连线的斜率的乘积 是一个定值 而且这个定值等于?
双曲线上的点 到两个顶点的连线的斜率的乘积 是一个定值 而且这个定值等于多少?

答案

不失一般性设双曲线的方程为：x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0),
两个顶点的坐标分别为（-a,0),(a,0),双曲线上任意一点坐标为P(xo,yo)
∴双曲线上的点到两个顶点的连线的斜率的乘积=[yo/(xo+a)][yo/(xo-a)]=yo^2/(xo^2-a^2)
=b^2/a^2,其中yo^2=(xo^2-a^2)*b^2/a^2
∴双曲线上的点到两个顶点的连线的斜率的乘积=定值=b^2/a^2