若对于一切实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)

题目

若对于一切实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)
求f(0)并证明f(x)为奇函数.
令x=-y,则f(0)=f(x)+f(-x)=0推出为何是f(-x)=-f(x)∴是奇函数而不是f(-x)=f(x)∴是偶函数呢?

答案

f(x+y)=f(x)+f(y)令x=y=0,f(0+0)=f(0)+f(0)f(0)=0,任意x∈R,f(x+(-x))=f(x)+f(-x)即0=f(0)=f(x)+f(-x)∴f(-x)=-f(x).∴f(x)是奇函数.这种函数的一个特例是f（x）＝2xf（x＋y）＝2（x＋y）＝2x＋2y＝f（x）＋f（y）....

举一反三

已知函数f（x）=x，g（x）=alnx，a∈R．若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值和该切线方程．

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