已知函数y＝xx−1的定义域为A，函数y＝1−x21+x2的值域为B． （1）求集合A、B； （2）求A∩B，A∪B．

题目

已知函数y＝

x

x−1

的定义域为A，函数y＝

1−x2

1+x2

的值域为B．
（1）求集合A、B；
（2）求A∩B，A∪B．

答案

（1）由题知：x≥0且x-1≠0，所以A={x|x≥0且x≠1}；
由y＝

1−x2

1+x2

解得x²=

1−y

y+1

≥0即

y−1

y+1

≤0，则y-1≤0且y+1＞0或y-1≥0且y+1＜0，解得-1＜y≤1或无解．
所以B={y|-1＜y≤1}．
（2）由（1）中的A和B得A∩B=[0，1），
A∪B=（-1，+∞）．

（1）根据负数没有平方根及分母不为0求出x的范围即可得到集合A；把函数y＝

1−x2

1+x2

变形为x²=

1−y

y+1

，利用x²≥0解出y的取值范围即可得到函数的值域；
（2）根据集合的交集为A和B的公共解集，集合的并集为既属于A又属于B的元素，分别求出即可．

本题考点：函数的定义域及其求法；并集及其运算；交集及其运算；函数的值域．

考点点评：此题为一道综合题，要求学生会求函数的定义域和值域，理解交集和并集的定义并会进行并集和交集的运算．