一道高中数学题（集合）

题目

一道高中数学题（集合）
n是正整数,若不超过n的正整数中质数的个数与合数的个数相等,这样的n成为“怪异数”,求“怪异数”的集合元素A的元素.
书上给的答案是｛1，11，13｝

答案

前面几个“怪异数”需要尝试,需要注意1既不是质数,也不是合数.容易看出,9,11,13都是“怪异数”.事实上
对于9：2,3,5,7是质数；4,6,8,9是合数.
对于11：2,3,5,7,11是质数；4,6,8,9,10是合数.
对于13：2,3,5,7,11,13是质数；4,6,8,9,10,12是合数.
我们来说明,“怪异数”只有这三个,即 A={9,11,13}.
从13继续往下数,是14,15,16,三个都是合数.因此到16为止,合数已经比质数多了三个.以后每数出一个质数,它的再下一个数都是偶数,肯定是合数.因此从17开始,对每一个正整数n,不超过n的整数中,合数的个数至少比质数多两个,即不可能相等.因此9,11,13就是全部“怪异数”.
哦,对的,1也是的,我忽略了.因为不超过1的正整数只有1自己,此时质数和合数的个数都是0,所以1也是“怪异数”.