已知数列｛an}的前n项和为sn,且a1=1,a(n+1)=1/3Sn,求（1）数列的通项公式

题目

已知数列｛an}的前n项和为sn,且a1=1,a(n+1)=1/3Sn,求（1）数列的通项公式
a2+a4+a6+a8.+a2n的值

答案

1.
a(n+1)=(1/3)Sn
S(n+1)-Sn=(1/3)Sn
S(n+1)=(4/3)Sn
S(n+1)/Sn=4/3,为定值.
S1=a1=1
数列{Sn}是以1为首项,4/3为公比的等比数列.
Sn=1×(4/3)^(n-1)=(4/3)^(n-1)
n≥2时,
an=Sn-S(n-1)
=(4/3)^(n-1)-(4/3)^(n-2)
=(4/3)×(4/3)^(n-2)-(4/3)^(n-2)
=(1/3)×(4/3)^(n-2)
=4^(n-2)/3^(n-1)
n=1时,a1=4^(1-2)/3^(1-1)=1/4≠1
数列{an}的通项公式为
an=1 n=1
4^(n-2)/3^(n-1) n≥2
2.
a[2(n+1)]/a(2n)=[4^(2n)/3^(2n+1)]/[4^(2n-2)/3^(2n-1)]=(4/3)²=16/9
a2=4^0/3=1/3
数列是以1/3为首项,16/9为公比的等比数列,共n项.
a2+a4+...+a(2n)
=(1/3)×[(16/9)ⁿ-1]/(16/9 -1)
=(3/7)×(16/9)ⁿ -3/7