设r(Am*n)=m,证明:存在秩为m的n*m矩阵B,使得AB=E

题目

设r(Am*n)=m,证明:存在秩为m的n*m矩阵B,使得AB=E

答案

因为 r(A)=m
所以对任一n维列向量b, 线性方程组 Ax=b 总是有解
特别对n维基本向量 ε1,ε2,...,εn, Ax=εi 有解 xi
令 B = (x1,x2,...,xn)
则 AB = (Ax1,Ax2,...,Axn) = (ε1,ε2,...,εn) = E.