已知二次函数f(x)同时满足条件:1 f(1+x)=f(1-x); 2 f(x)的最大值为15； 3 f(x)=0的两根立方和为17,求fx

题目

已知二次函数f(x)同时满足条件:1 f(1+x)=f(1-x); 2 f(x)的最大值为15； 3 f(x)=0的两根立方和为17,求fx
其中X1^3+X2^3=(X1+X2)(X1^2+X2^2-X1X2)=(X1+X2)[(X1+X2)^2-3X1X2]=17,为什么是 -3x1x2而不是 -4x1x2,最后答案是多少

答案

设f(x)=ax^2+bx+c
因为要考虑到它的对称轴和最大值问题,所以我们可以将其整理为：
f(x)=a(x+b/2a)^2+c-b^2/4a
由此可以看出,当x=-b/2a时,f(x)取得最值(c-b^2/4a)
x=-b/2a即为f(x)的对称轴
由条件1可知
f(x)的对称轴为x=1,所以-b/2a=1
由条件2可知
c-b^2/4a=15 a