已知向量a＝(1，1)，b＝(1，−1)，c＝(2cosα，2sinα)，实数m，n满足ma+nb＝c，则（m-3）2+n2的最大值为（　　） A.2 B.4 C.8 D.16

题目

已知向量

a

＝(1，1)，

b

＝(1，−1)，

c

＝(

2

cosα，

2

sinα)，实数m，n满足m

a

+n

b

＝

c

，则（m-3）²+n²的最大值为（　　）
A. 2
B. 4
C. 8
D. 16

答案

∵m

a

+n

b

＝

c

，
∴（m+n，m-n）=（

2

cosα，

2

sinα）（α∈R）
∴m+n=

2

cosα，m-n=

2

sinα，
∴m=sin（α+

π

4

），n=cos（α+

π

4

），
∴（m-3）²+n²=m²+n²-6m+9=10-6sin（α+

π

4

）
∵sin（α+

π

4

）∈[-1，1]
∴（m-3）²+n²的最大值为16
故选D

利用向量的运算法则及两向量相等的公式可求出m，n；表示出（m-3）²+n²，据三角函数的有界性求出三角函数的最值．

本题考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．

考点点评：本题考查向量的运算法则，向量相等的坐标公式，以及三角函数的有界性，属基础题．