已知椭圆x^2/a^2+Y^2/(a^2-1) =1和直线y=x-1相交于AB两点,且以AB为直径的圆过椭圆的左焦点,求a^2的值

题目

已知椭圆x^2/a^2+Y^2/(a^2-1) =1和直线y=x-1相交于AB两点,且以AB为直径的圆过椭圆的左焦点,求a^2的值

答案

椭圆和直线的交点可由两个方程联立解出
x²/a²+y²/(a²-1)=1.(1)
y=x-1.(2)
(2)代入(1)得
x²/a²+(x-1)²/(a²-1)=1
整理得
(2a²-1)x²-2a²x+(2-a²)a²=0
∴由韦达定理知x1+x2=2a²/(2a²-1)
x1*x2=(2-a²)a²/(2a²-1)
同理,由(2)得
x=y+1.(3)
代入(1)可得
(y+1)²/a²+y²/(a²-1)=1
(2a²-1)y²+2(a²-1)y-(a²-1)²=0
y1+y2=-2(a²-1)/(2a²-1)
y1*y2=-(a²-1)²/(2a²-1)
椭圆焦距c=√[a²-(a²-1)]=1
∴椭圆的左焦点C为(-1,0)
AC⊥BC
向量AC=(x1+1,y1)
向量BC=(x2+1,y2)
向量AC*向量BC=0
即(x1+1)(x2+1)+y1y2=0
x1*x2+(x1+x2)+1+y1*y2=0
∴(2-a²)a²/(2a²-1)+2a²/(2a²-1)+1-(a²-1)²/(2a²-1)=0
即(2-a²)a²+2a²+2a²-1-(a²-1)²=0
整理得
-2(a²)²+8a²-2=0
(a²)²-4a²+1=0
a²=[4+√(16-4)]/2=2+√3
或
a²=[4-√(16-4)]/2=2-√3