已知集合M是满足下列性质的所有函数f（x）组成的集合：对于函数f（x），定义域内的任意两个不同自变量x1，x2，均有|f（x1）-f（x2）|≤|x1-x2|成立． （1）判断函数f（x）=3x+1是

题目

已知集合M是满足下列性质的所有函数f（x）组成的集合：对于函数f（x），定义域内的任意两个不同自变量x₁，x₂，均有|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|成立．
（1）判断函数f（x）=3x+1是否属于集合M？说明理由；
（2）若g(x)＝a(x+

1

x

)

答案

（1）f（x）=3x-1∉M，可举反例说明：
若x₁=1，x₂=2，则f（x₁）=4，f（x₂）=7，|f（x₁）-f（x₂）|=3≤1=|x₁-x₂|不成立．
（2）对任意两个自变量x₁，x₂∈（1，+∞），g(x)＝a(x−

1

x

)
因为|g（x₁）-g（x₂）|=|a(x1−

1

x1

)−a(x2−

1

x2

)|＝|a|•|(x1−x2)+(

x2−x1

x1x2

)|
=|a|•|x1−x2|•|1−

1

x1x2

| ≤|x1−x2|恒成立．
⇒|a|•|1−

1

x1x2

|≤1⇒|a|≤|

1

|1− 1 x1x2 |

|
又x₁＞1，x₂＞1⇒x₁x₂＞1⇒|1−

1

x1x2

| ∈（0，1）⇒|

1

|1− 1 x1x2 |

| ∈（1，+∞）
即|a|≤1
故a的取值范围是：[-1，1]