求行列式：第一行2 -5 1 2第二行-3 7 -1 4第三行5 -9 2 7第四行4 -6 1 2

题目

求行列式：第一行2 -5 1 2第二行-3 7 -1 4第三行5 -9 2 7第四行4 -6 1 2

答案

答案是-9 ,方法主要有2种
一种是直接按一行展开,方法如下,其中每个{}都表示一个行列式
{2 -5 1 2;-3 7 -1 4;5 -9 2 7;4 -6 1 2}
=2*{7 -1 4;-9 2 7,-6 1 2}-(-5)*{-3 -1 4;5 2 7;4 1 2}+1*{-3 7 4;5 -9 7;4 -6 2}-2*{-3 7 -1;5 -9 2;4 -6 1}
分别计算其中的3阶行列式
{7 -1 4;-9 2 7,-6 1 2}=7*2*2-7*1*7-(-1)*(-9)*2+(-1)*7*(-6)+4*(-9)*1-4*2*(-6)=15
{-3 -1 4;5 2 7;4 1 2}=-12
{-3 7 4;5 -9 7;4 -6 2}=78
{-3 7 -1;5 -9 2;4 -6 1}=6
所以
原式=2*15-(-5)*(-21)+1*78-2*6=-9
更简单的方法是,先调整某一行或列的系数,让大部分系数为0,再从那一行或列展开
观察第3列的数值比较简单
2 -5 1 2
-3 7 -1 4
5 -9 2 7
4 -6 1 2
所以分别将第一行的1倍,-2倍,-1倍加到二三四行,以消去第3列后3个数,得到
2 -5 1 2
-1 2 0 6
1 1 0 3
2 -1 0 0
再将经过调整的行列式按第3列展开,即
{2 -5 1 2;-1 2 0 6;1 1 0 3;2 -1 0 0}=1*{-1 2 6;1 1 3;2 -1 0}
就是原4阶行列式等于下面的3阶行列式,
-1 2 6
1 1 3
2 -1 0
可再次调整,分别把第1行的1倍和2倍加到第二三行,以消去第1列后2个数,得到
-1 2 6
0 3 9
0 3 12
{-1 2 6;0 3 9;0 3 12}=-1*(3*12-9*3)=-9